钱维娜（鹿苑小学）——数学：《认识面积》
简介：
钱维娜，任教数学学科，张家港市小学数学教学能手。在日常教学研究中，坚持以新课标数学核心素养为导向，让核心素养落地为知识赋能，让知识自然、真实的发生。积极探索以“问”为引，以“真”为重，打造自学生问、合学解问、展学追问、评学反问的真学习课堂。
点评：
直观中感悟，度量中理解
——听《认识面积》有感
张家港市乐余中心小学 黄振华
【教材结构】
依据《２０２２年版课标》提出的“对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”的理念，“图形与几何”领域通过主题整合的方式实现内容的结构化。内容结构化主要体现在内容主题重整上。面积的认识属于图形与几何领域中图形的认识与测量这一主题。而图形的认识与测量包括立体图形和平面图形的认识、线段长度的测量，以及图形的周长、面积和体积的计算。图形的测量重点是确定图形的大小，学生经历统一度量单位的过程，感受统一度量单位的用意，基于度量单位理解图形长度、角度、周长、面积、体积；在推导一些常见图形的周长、面积、体积计算方法的过程中，感悟数学度量方法，逐步形成量感和推理意识。
回顾图形的测量的知识线索，现行教材主要分这样几个阶段：《认识面积》这一课是三下的内容，最近学生刚刚学的是周长。再往前，是二年级上学期学生认识了线段，拥有了第一次的测量长度的经验。将来还会学习角的度量、体积。图形的测量重点是确定图形的大小。一维图形的大小是对图形长度的度量，二维图形的大小是对图形面积的度量，三维图形的大小是对图形体积的度量。虽然不同维度的图形大小，它的几何属性不同，但是度量的本质却是相同的。史宁中教授说：度量就是计算所要度量的图形包含多少个度量单位。《小学数学内容分析与教学指导》中指出：测量的本质就是用具有同一属性的测量单位去填充、覆盖或匹配。说到这儿，可能有老师要有困惑，为什么一会儿说度量，一会儿说测量，度量和测量到底一不一样呢？课程标准解读第５４页的注释告诉我们：这两个术语一般情况下是通用的，测量侧重于活动过程，度量侧重于活动结果，但作为一个“过程性概念”，二者不必刻意区分。特级教师蔡宏圣给我们的教学建议是：在教学处理中，要以宏观视野，在整体上梳理清楚这些内容背后的数学本质。我们一起来看这张表：
线段、长方形、角、长方体虽然几何属性各不相同，但是在度量的时候，都是先约定“１”，也就是找到一个测量的标准，一条小线段、一个小平面、一个小角、一个小空间去测量，然后数出结果，量化的过程都是先“１”后数。竖着来看，实际上也就说清了测量的过程：首先明确量化的对象，确定其几何属性，然后约定“１”，也就是定一个测量标准，然后去数出个数，得到一个量化的结果。
在整体教学的视角下，我们再来看一下目前教材中周长和面积的学习线索，从这幅图中，大家又能受到哪些启发呢？不管是周长还是面积，它们的学习线索是一致的，测量的本质也是一致的。对于认识面积这节课来说，认识周长一节种子课，认识面积是一节生长课。
学生刚刚学习了周长，从长度到面积，他们需要跨越的认知障碍在于测量对象从一维的线变成了二维的面。据我所知，明年开始实施的新教材中，会将周长和面积这两个内容放到一个单元。刚好，这次活动，我们相当于将周长和面积放到了一起学习，期待经过这样的学习，能让学生建构起对周长和面积的整体认识结构，以进一步发展学生的量感。据了解，这两个内容放到一个单元后，周长的认识会增加一部分内容，那就是尺规作图，课标第１１４页的例２９内容是通过作图认识三角形的周长，大家可以提前了解下。虽然三角形、长方形都是二维图形，但它们的周长还是长度。可以用直尺和圆规将相关的边长首尾相接“移动”到同一条直线上，将一周的长度转变为一条线段的长度。包括将来学习的圆周，也可以化曲为直，即将圆周“滚”成一条线段来度量。这也就告诉我们，周长的本质就是一条直线段的长，打开之后才能接触本质，不然在学生的感觉当中，虽然他能指出一周边线，但他看到的还是一个二维的图形。只有厘清了“面积”和“周长”的区别，学生才会想到用一个单位面去覆盖一个面，在摆、数的过程中，体会测量一个图形面积的方法，用数来量化形的大小。
【课标链接】
《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：认识常见的平面图形，经历平面图形的周长和面积的测量过程，探索长方形周长和面积的计算方法；积累数学活动经验，尝试从日常生活中发现和提出数学问题，愿意了解日常生活中与数学相关的信息，愿意参与数学学习活动。课标第３２页教学提示中指出：图形的面积教学要让学生在熟悉的情境中，直观感知面积的概念，经历选择面积单位进行测量的过程，理解面积的意义，形成量感。采用类比的方法，感知图形面积的可加性，推导出长方形和正方形面积的计算公式。在探索的过程中，形成初步的几何直观和推理意识。
【听课感悟】
从课堂上我们可以看出，两位老师都能根据三年级学生的认知特点，创设学生熟悉的情景，直观感知面积的概念。两位老师都设计了有效的学习活动，让学生经历了完整的测量面积的过程，从学生的表现来看，他们非常乐意参与到学习活动中来，在独立思考、动手操作、合作交流中收获了新知，积累了数学活动经验，触摸到了面积的本质。具体来说，体现在以下方面：
一、多元感知，积累经验
两位老师都设计了一系列的操作体验活动让学生感知“面”和“面的大小”。通过找“面”，让学生感受到“面”在我们的生活中无处不在，同时也清楚了面积含义的主体是“面”；通过举例，用自己的语言说面积，在应用中加深对面积含义的理解；通过摸“面”，让学生明确感知面是有大小的。说到这里，我要提醒大小当心学生对“大小”产生误解。面积概念的核心词是“大小”。为让学生明白面是有大小的，各个版本的教材都是在不同的面的大小中引出的面积概念。但要注意的是，面积并不是比大小比出来的，面积是对一个面大小赋予一个正数进行的量的刻画。比如数学书封面，它本身就是有大小的，而并非是和其它的面比较的大小。面积，面积，实际上是若干个单位小面的累积，是指一个面的实际量值，量值是需要标准来计量的，只有进一步研究如何把面的大小说清楚，才能更深入地理解面积的含义。另外，教材中，对面积的表述为：黑板面的大小是黑板面的面积；课本封面的大小是课本封面的面积。特级教师许卫兵认为：对“面积”概念本质的理解可以简化为四个字：面的大小！我觉得言简意赅，且易于被三年级学生理解。为了让学生对面积概念的建构更全面、更完整，需要把对面的认识从平面扩展到曲面，更需要从物体表面抽象到平面图形的面积。从刚才的课中我们可以看到，钱老师给出的素材中用到了篮球，篮球的面就是一个曲面，它的大小也是它的面积。我觉得这个例子补充得刚刚好，帮助学生完善了对“面”的认知。
二、操作探究，培养量感
面都有大小，比较面的大小的方法也有很多。教学中，学生经历了直接比较和间接比较的过程。观察法、重叠法是学生已有的经验，这并不是本课教学的核心。面积的教学，其核心是如何测量图形的大小，经历“度量对象——测量工具的选择——将面积大小抽象为一个数量”的过程，从而感知面积的本质就是面积单位的累加。两节课，老师将教学的重心放在了测量上。当遇到无法用观察法或者重叠法得到两个图形谁大谁小的时候，学生已有的测量经验被激活，然而因经验不足，不少同学认为比面积的大小就是要去测量它的长度，计算周长。这时候需要老师进一步和学生辨析面积和周长的概念。钱老师的课上，当学生说要比两块饼干的大小，需要用尺量周长的时候，她适时将一周边线打开，形成了两条直线段，让学生在直观感受到比周长实际上是在比线段的长度，而我们要比的饼干的大小与它的面相关。孔企平教授认为：量感培养的重点不在于已知测量单位后进行测量，而是让学生能够识别出数量的属性，并创造或选择合适的度量单位来进行量化。也就是说，量感培养，第一需要知道测量的对象是什么；第二，选择测量的工具；第三，度量它包含多少个单位就是多少，最后表达它的量值。如果学生连测量的对象都不清楚，那么他后面所做的一切都是无意义的。
两位老师都提供了丰富的学具，让学生通过小组合作，充分经历了“选图形—摆图形—数图形—比个数—说结果”的完整过程，积累了活动经验，培养了量感。此外，面的大小就是指一个面包含面积单位的多少，用数学语言来表述就是一个数量。在汇报交流中，让学生明确可以用数量来描述面积有多大，凸显了面积的量值特征。同时，我们可以看出，两位老师对学生的汇报交流的组织都是有层次的。从统一标准到不同标准；比较圆形和正方形；从铺满到铺一部分；每一个作品的呈现，都是有目的的。最终，大家达成了一致的认识，认为面积的测量标准选择正方形比较好。
三、把握本质，建立联系
课标指出：强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构。测量长度和测量面积一样，都是用填充、覆盖或者匹配等方法比较待测对象与测量单位，获得量化结果。学生在类比中想到用小面去测量大面，跳出了一维，实现了图形学习的一次跨越，逐步领悟到面积的大小实质是一个数。这时候，为什么要测量、用什么测量、怎样测量、测量的结果是什么，学生思路逐渐明晰。而两位老师对长度、面积测量过程的回顾、梳理与比较，则再次让学生体会到了测量的本质就是以小量大，短线段量长线段、小面量大面、将来还会用小角量大角，小体量大体。虽然后面两个内容可能一时不能很好的理解，但却埋下了一颗测量的种子。
学习面积，绕不开周长这个话题。为了让学生更好地区分周长和面积的概念，周老师让学生用动作表示生活中的一些事件与面积还是周长相关，学生在动手、动脑的过程中，对周和面的认知更加清晰。钱老师则结合学生课前提出的问题，利用学习过程中测量的饼干图的素材，用若干个小方块组成三个图形，通过比较它们的周长和面积，得到了周长相等的图形，面积不一定相等；面积相等的图形，周长不一定相等这个结论。这一点，在周老师的课上也有体现。
分享一幅图：刘老师要求我们一线教师把这张图打印下来，放在桌边，每天备课的时候，以前我们的目标就在外围一圈，四基四能，现在我们要在四基四能的基础上，通过真实情境的方式，然后指向中间地带的目标，我们不只是想到外圈的东西，基本知识、基本技能，你还要想到的是指向的核心素养的关联是什么，这才有可能最后跨过中间地带，走向三会。在这个过程中，要思考哪些素养是跟目标相关联的，相当于中间这一圈是我们实现目标的一个途径。比如今天这节课的内容，哪些素养是跟目标相关联的？量感、空间观念、推理意识，当然，还有度量的思想。关注到了这些，才能带领学生走向三会。
【与你分享】
最近我在看一本书，书名是《活在课堂里》。书中说：所有老师的人生之路，都通向这样的目标：上好每一堂课，成为一名好教师，过好自己的课堂生活。这个目标仿佛是一个山顶，不会轻易抵达，需要你披荆斩棘，跋涉前行。今天，无论是工作第三年的小周老师，还是已有２５年教龄的钱老师，都向前迈出了一大步，离自己的目标又近了一些。祝贺你们！
前天晚上，我听了《活在课堂里》这本书的领读直播活动，非常精彩。分享两个领读片段：教师的专业成长在课堂，上好课是基础。叶澜先生曾经用五个“实”字，诠释了好课之“实”的理想标准：扎实、充实、丰实、平实、真实。真实的课，是有缺憾的课。如同没有十全十美的人一样，也没有完美无缺的课，给人这种感觉的课，一定是造假的课。其实，一旦发现课堂中出现的各种缺憾、缺陷或缺失，反而是好事，说明找到了自我发展的空间：一个问题，就是一个自我发展、自我成长的空间。第二个片段：教师的思想成长在课堂，表现为两个方面：一是教师的行动从关注内容到关注孩子的发展，也就是目中有人；一是教师的研究从关注行为到关注行为背后的原理，也就是术中有道。与大家共勉！希望，在座的每一位，都能在今天的活动中学有所得。
