简介：

陈一叶，任教数学学科，近三十年来一直奋战在教学一线，在深入研究荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔教育思想的基础上，提出了“让儿童创造数学”的教学主张，逐步形成了“童趣，启智，怡情”的教学风格。个人教育格言：一切从儿童出发，让他们经历数学知识的“再创造”过程。

点评：

关注本质·注重过程·发展素养

——《曹冲称象》《质数与合数》听课有感

乐余中心小学  黄振华

非常荣幸，今天和大家一起相聚在这里，聆听了两节这么精彩的数学课！此时此刻，我相信在座应该有很多人和我一样，心情澎湃，因为这样的好课，真的听不够！ 

作为数学老师，我们肯定对这句话烂熟于心：比较一下，有什么相同点？有什么不同点？很明显，这是两节完全不同的课，《曹冲称象》是教材新增的综合与实践板块的内容，《质数与合数》是我们熟知的数与代数板块的内容。这么多不同当中，我们是否能找到一些相同的地方呢？

我觉得，两位名师的课至少凸显了以下几个共同点：一是学为中心的教育理念。两堂课，学生的主体地位均得以体现，教师是学习的组织者、引导者与合作者。两堂课，均充分调动了学生学习的积极性、主动性，学生在主动质疑、想象、思考、争议、实践、评价的动态生成过程中学习、成长，学生之间互相尊重、理解、合作与交流，伴随着学习过程，理性之光、智慧火花不断闪现。二是探究味浓的教学过程。质数与合数，教师引导学生模拟古人研究数的历程，让非0自然数的分类方式自然生发。曹冲称象，通过“不用秤，如何测量大米的质量”这个驱动问题，引发学生的探究欲望。三是本质理解的教学追求。非0自然数为什么还可以分为质数、合数和1这三类？曹冲称象背后的原理是什么？两位老师以操作、实验活动为载体，以数形结合、推理想象等方式，激励学生不断探索知识背后的奥秘。四是育人导向的价值观念。两位老师均注重知识学习与价值教育有机融合，结合数学历史文化，发挥着每一个教学活动多方面的育人价值。

接下来我按照上课顺序分别来谈一谈我的听课感悟。

2022版课标出台已经两年多，这段时间，综合与实践这个版块的教学研究非常热门，从会场入座率就能看出大家对这样的课例非常期待。综合与实践主要包括主题活动和项目学习等，小学阶段主要采用主题是学习。主题活动教学是跨学科背景下的数学内容学习，其目标是引导学生在跨学科背景下用数学的眼光观察现实世界，用数学的语言表达现实世界中事物的概念、关系和规律，帮助学生感悟数学与现实世界的联系，培养学生实践精神。

曹冲称象的故事我们耳熟能详，因为我们都学过这篇课文，如今，它成了数学课新增的主题活动，目前，教材如何编排我们还没有看到，让我们先一起学课标。这是课标对这个主题活动的内容要求和学业要求，这是教学提示，这是课标附录中的例15的表述。这些课标上都有，我不赘述。这个主题活动是一个长程活动，前期徐教研已经和学生完成了第一阶段，联系活动体验质量单位的意义，了解了一些测量物体质量的工具。今天徐教研呈现给我们的是这个主题活动的精华部分，她给我们做了一次精彩的示范。

1.讲真事，真实情境撬动探究欲望。

课标要求：教师要在真实情境中引导学生认识真实世界、解决真实问题，引导学生经历真实的学习过程。徐教研的课，给我最大的感受，就是一个字：真！真情境！真问题！真器材！真实验！真探究！真思考！首先，最最直观的是实验器材的准备，500克一包的白砂糖、250克一包的食盐、50克一根的火腿肠、抹布、记号笔、大小盒子、水，这些材料，都是徐教研精心挑选的，是有利于学生实验、探究，引发思考的。“不用秤，如何测量大米的质量？”这个驱动问题引发了三年级学生的思考。通过小组讨论，学生联想到曹冲称象的故事，受到了启发，产生了利用曹冲称象的方法来称大米的想法，在此基础上，老师明确任务要求：选一选、做一做、说一说。从课上可以看出，真正有效的情境是为学生的发展而设计的，学生在面临挑战性任务时，往往会释放更多的能量，进行更有效的学习。

  2.重过程，完整经历促进经验积累。

  课标要求：课程内容的组织要重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系。任务一的实验，给予学生极大的挑战，考验的是学生的小组合作能力、思维能力、动手操作能力，对于三年级的学生来说，做这个实验极有可能经历失败，失败也是一种可贵的经验。有的老师可能会为了节约时间提前预设学生可能会遇到问题，提前讲解实验注意点，让学生实验过程更顺畅些，更容易成功一点。但，徐教研没有这样做，她选择给足学生实验的时间，让他们自己去尝试、自己去调整、自己去总结经验。当然，她也贴心地给每一组准备了一个小锦囊，学生不一定会打开，但徐教研也是结合学生年龄特点精心准备的，让我们来看一看！汇报的过程中，师生间的交流实际上就是积累经验的最佳时机第一小组代表介绍了测量的方法，生生间的互动自然形成。虽然出现了3包盐、4包盐、5包盐这样不同的结果，但随着“为什么会出现不同结果”的追问，孩子们不断复盘，反思实验过程，积累实验经验。徐教研说：测量可能会失败，没关系，重要的是要从失败中汲取经验。这是在培养学生科学实验的理性精神。如果孩子没有经历过这个过程，如果孩子的实验过程毫无障碍，那么实验的价值就打折扣。

3.悟道理，知行合一厘清称重本质。

曹冲称象的主题活动，不光是让学生经历测量物体质量的过程，丰富度量的活动经验，重要的是在测量的过程中感悟“等量的等量相等”“总量=分量＋分量”这两个课标新增的基本事实，这也是这个主题活动需要让学生感悟的测量原理。曹冲称象是新教材三年级内容，这届孩子学的是旧教材，要在一节课上感悟这两个基本事实，对三年级的孩子来说，有点难。

在热闹的实验过后，是冷静的思考。称重的过程中，什么变了？什么没变？古时候曹冲称大象，现在我们称大米，有什么相同点和不同点？为什么要把大象换成石头？换的过程中要注意些什么？称大米的过程中，什么是整，什么是零？这些关键问题的解决，让学生深刻感悟到了化整为零的数学思想。徐教研结合板书，让学生清晰的建立起了总量=分量＋分量＋……＋分量的加法模型。

随后，用符号代替白砂糖、食盐、火腿肠，引出任务二：怎样让天平平衡？孩子们其实是有一点等量代换的经验的，在这里，要明确的是“等量的等量相等”这个基本事实。这个环节，老师让孩子们充分表达，讲述其中的道理：因为2包糖的质量=1包大米的质量，4包盐的质量=1包大米的质量，所以2包糖的质量=4包盐的质量。随后，利用结合板书回顾，引导孩子们知道了什么是等量，什么是等量的等量的相等、什么是等量代换。数形结合让推理意识得到了更好的发展。

如果说，1包大米的质量架起了2包糖和4包盐质量相等的桥梁，那么曹冲称象故事中，架起大象和石头质量相等的那座桥是什么呢？这其实也是大米和糖、大米和食盐这两组等量的桥梁。徐教研引导学生进行了更深层次的研究，她结合科学实验，引发思考，再回头反观实验的视频，引导学生联系水位线的变化，从本质意义上找到了中间量是排开水的质量。学生对基本原理的理解，是在问题的一步步深入、操作的一次次反思、学习的一步步进阶中获得的。

4.做中学，学科融合助力学生提升素养。

研究表明：人们在学习时，如果仅靠听喝看，最多能吸收30%的信息，如果动手做的话，吸收信息可以达到90%以上。特级教师俞正强说：语文课《曹冲称象》，主角是人，是曹冲，认识的是曹冲的聪明；数学课《曹冲称象》主角不是曹冲，但一定丰满了语文课中关于人的认识，而这个丰满的过程便是学科整合，便是跨学科的意义之所在。跨学科主题学习的最终目标是引导学生运用多个学科的视角及学科关联的视角理解世界。学生会由此意识到：同样的问题、同一个世界，可以从多个视角去理解。

今天徐教研的课，让我们对这段话的有了更清晰的认知。在这节课上，学生边实践边探索，将知识学习融于实践过程中。当学生拥有了足够的活动经验和思考能力，任务三：称一粒大米有多重？难不倒他们了！称不了的大象转化成称得了的石头，那么称不了的很轻的大米，也可以转化成称得了的一堆米。在交流过程中，学生体会到了探索未知知识的法宝——转化思想！这节课，学生在自然情境中，在教师的帮助下，在做的过程中积累了直接经验，主动参与教学知识的发生、发展和形成过程，理解和掌握了数学思想、知识和方法。

课标要求：主题活动要选择学生感兴趣、有助于学生深度学习的活动内容，引导学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决，问题的过程，感悟数学知识之间、数学与其他学科知识之间、数学与科学技术和社会生活之间的联系。学生在不断尝试、反思、调整的过程中，积累丰富的活动经验；在解决问题遇到困难时，不断调整心态和认识，锻炼意志品质，把落实立德树人根本任务、发展学生核心素养的理念浸润于活动的细微之中，助力学生终身发展。徐教研的这节曹冲称象，精彩的诠释了新课标理念。深感佩服！

如果说曹冲称象是一节新课，那么陈校长的这节我们熟知的质数与因数同样让我们耳目一新。“质数与合数”是现行教材五年级下册“因数与倍数”单元中承上启下的核心内容，往前看，学习了因数与倍数以及2、3、5的倍数的特征，往后看，这个内容又是以后学习最大公因数、最小公倍数、分数的约分与通分以及分数四则运算的重要基础。

一起看课标：课标上关于质数与合数的内容少之又少，其中，内容要求是：了解质数（或素数）和合数。学业要求是：能判断一个自然数是否是质数或合数。给我们的教学提示是理解质数和合数，形成推理意识。教过这个内容的老师一定深有感触，质数、合数的教学特别枯燥，它不像奇数、偶数那样常用，奇数、偶数对学生来讲就是小时候认识的单数、双数改了个学名，很容易理解。质数、合数则是一个全新的概念。今天陈校长同样给我们做了精彩示范，让我们收获满满。

1.模拟古人研究历程，让抽象概念变得具体

溯源质数的本意，质数只能被“1”这个基本单位量尽，合数还能被“1”以外的数量尽。英文中的质数是prime，是“基本”的意思，即质数从因数分解的角度不可再分；英文中的合数是composite，是“合成”的意思，表示合数是由多个基本数合成的。古人最初发现并研究质数与合数是摆石块，能排成多行多列的是合数，只能摆成一个直条状的是质数。陈校长的课充分融入古人的智慧，从学生的已有经验出发，从百数表的分类说起，引出了古人对数的研究，通过摆石块，从“形”上对质数与合数进行直接观察，这里包含着浓浓的分类思想和数形结合的研究方法，充分调动了学生的各种感官，极大地激发了学生的学习兴趣。

课上我们可以清楚地看到，陈校长充分发挥学生的主动性，让他们自己选择三个50以内的数，在学习单上画一画他们可以摆成的形状，进行初步分类。学生的随意选择一定是有质数，也有合数，于是产生了一些不同的摆法，有的只能摆成一行，有的既能摆成一行，还能摆成几行几列。此时根据摆成的形状来命名，顺应孩子的思维发展特点。“线形”、“方形”，这是一种既形象又独特的命名。但，此时，学生只是初步的感知。随着举的例子越多，这种线形数和方形数的特征就越明显。在互动交流、纠正补充中，学生自然生发分类的标准：只能摆线形；既能摆线形，也能摆方形；点状。在这个过程中，以“形”代“数”，让抽象的数具象化，助力分类，直观形象，容易被理解。学生一方面感受到，数是有形状的，另一方面，了解到数还有其他的分类方式。在探究的过程中，学生仿佛在对话历史，在和古人一起研究，使得原本枯燥的数概念变得直观形象，生动有趣，易于接受。

2.厘清分类背后道理，让探索过程有迹可循

我们的教材对质数、合数是这样定义的：2、3、5这几个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）；6、8、9这几个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。这个定义，讲究的是对质数与合数的判别，不能很好的凸显质数概念的本质。当学生经历了随意选数，画出数的形状，知道了线形数和方形数之后，通过想数12的形状，与前面刚学的因数与倍数中的乘法算式、因数联系了起来。第二次探究活动，引导学生探究线性数和方形数的本质特征，还是自己选数，思考可以写成哪些乘法算式，有哪些因数，将学生的目光从形又转到了数。

课堂上，陈校长始终关注数学知识的本质，在引导学生进行探究的环节，她紧紧围绕概念本质向学生提出问题：为什么2、5、11只能摆成线形？而4、8、9还能拼成方形？这个问题，引领学生主动调取已有认知，结合乘法算式，从因数个数的角度去思考。在此基础上，通过进一步深究，自然形成了非0自然数的三种分类：线形、方形、点状。学生表达发现的过程是一个思辨的过程，生生间的互动实现了思维的碰撞，对质数、合数的认识一步步逼近本质。探究活动一到探究活动二，从几何直观到概念形成，实现了从“形”到“数”、从“具体表征”到“抽象概括”的华丽转身。学生经历了由动手摆、动脑想、动嘴说的过程，达成了对质数、合数概念及其关系的深层次理解，感悟了自然数按照因数个数分成三类的合理性，发展了数感。分类和数形结合的思想方法深入到了每一个学生的头脑中，学生的推理意识、模型意识到了充分的发展。

3.注重知识前后联系，让所学新知融入结构

  质数、合数的知识在整个小学阶段的数学知识体系中，相对比较孤立，平时生活中也很少应用，所以如果纯粹是概念记忆，往往会被学生丢弃在被遗忘的角落。陈校长注重知识的前后联系，一方面以线形、方形为几何模型，利用数形结合让学生自主地由摆成的图形联想到一个数的因数，相信在很长一段时间内，学生想到质数或合适，脑海里会不由自主的浮现线形图或方形图。另一方面，借助分类思想，使学生清晰地认识到非0自然数不光可以根据奇偶性分类，还能根据因数的组成结构来分类，这对学生建立对自然数的完整认知是非常有价值的。解密小锦囊的联系，设计巧妙，综合了对两种分类的数特点的考量，使得学生的认知结构更加丰富。

4.感受数学独特魅力，让探索精神得以延续

新一轮课程改革更加突出实践中全面育人的思路。课标要求：注重知识学习与价值教育有机融合，发挥每一个教学活动多方面的育人价值。这告诉我们：数学不仅仅是知识，还有浓浓的数学文化和育人价值。

课始介绍古希腊数学家毕达哥拉斯喜欢用石头研究数学，课上结合学生筛选50以内质数的活动过程，自然渗透数学家埃拉托色尼发明的“筛法”，知识小锦囊告知学生目前世界上找到的最大的质数是2136279841-1，这些数学文化的呈现，让学生深深感受到了数学的独特魅力，实现了其自身的育人价值。特别是找更大的质数这个环节，陈校长问：“还有比它更大的质数吗？”“下一个发现者可能是谁？”学生自信满满地回答：“我！”这是一个多好的教育契机啊！也许此刻，学生心里已经种下了一颗探索的种子。课后，让学生去读一读什么是“哥德巴赫猜想”，什么是陈氏定理，还可以了解下质数、合数在高精尖领域的广泛应用。多角度地引领学生感受数学的独特魅力，对培养学生继续探索数学奥秘的热情和品格，激励学生未来继续学习数学和喜欢数学，是非常有意义的。

总而言之，两位大师对数学本质的理解与把握、对教材的挖掘与整合、对教学过程的实施与调控、对学生的悉心引导与教育，使我们每一位一线教师努力追求的方向。

最后，我要为实验小学西校区的孩子们点个大大的赞！两节课，孩子们的表现非常棒！他们善于观察、善于思考、善于表达，愿意倾听，互相补充，展现出来的是优秀的学习品质和科学探索的理性精神，特别棒！