简介：

陈凤云，中小学一级教师，张家港市数学学科带头人，张家港市外国语学校数学教研组长。曾获苏州市基本功竞赛一等奖，苏州市素养竞赛一等奖两次，张家港市基本功竞赛一、二等奖，开设张家港市级公开课多节，受到一致好评；主持张家港市级课题并以良好结题；三篇论文在省级刊物发表；参与江苏省优秀作业设计并入选“空中名师课堂”共享平台。个人教育格言：纳百川，容学问，立德行，善人品。

点评：

于“无形”处见真章：从《“圆”来如此简单》谈数学可视化思维的深度建构

张家港市塘桥初级中学 陈冬

机会难得，在今天参加了陈凤云老师执教《“圆”来如此简单——探究隐圆线段最值问题》的公开课，给我们带来了一节极具启发的教学展示。整个教学过程设计巧妙，寓意深远，不但完成了本节课的知识传递、能力训练的任务要求，而且充分体现了数学思维的引领、数学学科核心素养的渗透以及全新的学习范式的要求。依照知识和方法、思维和评价4个维度对课堂进行点评。

一、知识建构：从“隐性关联”到“显性模型”，深化对圆本质的理解

本节课的知识主线清晰而深刻，围绕“隐圆”这一核心概念，层层剥笋，引导学生将散落的几何条件（定点定长、定弦定角）与圆的定义、性质进行创造性关联。陈老师并未将“隐圆模型”作为静态结论直接呈现，而是通过“问题激活”环节，让学生从最简单的动点轨迹猜想出发，亲身经历“发现”圆的过程。这种处理方式，将圆的知识从“明确定义的图形”升华为“满足特定条件的点的集合”这一更本质的数学观念。

精妙的设计在于“模型生成”。并不是简单地把两个模型拿给学生去比较归纳，而是让他们从问题原型中主动提炼出“条件”、“结论”，从而由特殊到一般地将模型升级为通法。促使学生把圆有关定理（逆用圆周角定理），从解题工具转向模型建构思想支撑，从而使圆的知识获得一种基于意义重组与结构重组后的再生生命。“例证”系列、“生长变式”系列分别以矩形、旋转三角形、直角三角形、抛物线等为背景素材设计数道填空题，进一步在不同的背景中帮助学生找出相同属性而达到举一反三的效果，强化对“隐圆”的敏锐度。

二、方法演进：在“动中寻静”中掌握数学建模的一般路径

方法论方面的贡献是对解决此类复杂动态几何问题演绎了一条转化与建模的基本思想途径：陈老师指导学生以“动中寻静”的思路展开相关探究，在解决“线段最值”类动态问题时，可以通过按以下两步来进行——第一步，察“隐圆”：依据动态问题背景下的不变量，找出或构建圆心和半径均固定的定圆或定圆弧，并把动点运动的复杂轨迹化为简单的圆周；第二步，用“模型”：借助于“点圆最值”或“线圆最值”等基础模型（其中的圆称为支撑圆），把原题化归为一种基本的几何关系。

从“问题导航”的基本感知，到“协同学习”的综合应用，再到“拓展提升”板块结合二次函数坐标背景进行变式3和抛物线问题设计，学法运用经历了一个从模仿到内化、从单一到综合的过程；尤其是变式3、抛物线问题的设计，打破了学生头脑中只有“隐圆”题目才会出现“隐圆”的错误思维定势，将数与形有机联系起来，极大锻炼了学生透过纷繁杂乱的条件提取有用信息，构造模型解决问题的能力。

三、思维升华：孕育高阶数学思维与核心素养

本课不仅用于攻克几大难题，更是一节完整促进学生思维生长的课堂。本课有效培养了学生数学学科的核心素养。

1.直观想象和逻辑推理并重：“隐圆”中之“隐”，使学生的空间想象力经受着考验。他们要先把隐含条件构造出来并转化成具象图形“可视化”，再通过严格的逻辑推理(定义法或定弦定角定理逆定理)证明是“圆”。一节课下来既是对猜想后的探索验证，也是直觉猜出结论之后的说理论证，整个过程充分体现了数学发现的方法双翼。

2.运用模型思想、化归思想的完美展示。本节课是“模型思想”教学的经典范例，学生亲身经历两大隐圆模型“生成”的全过程，并应用其“解决”系列的问题，这种从实际生活情境中发现数学问题本质，再把它抽象出来变成一个数学模型，然后用这个模型的结果去分析问题，再解决生活实际问题的过程就是小学数学建模初步认识过程；“化归”思想贯穿于整个课堂，在于通过将所研究的不规则最值化归为圆的有关最值，将陌生问题化归为熟悉的模型。

3.“融会贯通”环节设置的问题(解题经历、模型构建、数学思想、知识方法)，可以引导学生进行元认知反思，将学习过程与思考作为对象来反思并提炼其中思维的精髓；养成这样的反思习惯，能促进学生的批判性思维和自主学习能力发展。“将∠AEB=90°改成45°”的变式是从参数变化出发，探究模型适宜性的变式，能够激起学生冲破框框、探究模型的应用边界的兴趣，利于学生创新意识的发展。

四、教学评价：指向深度学习的“教学评”一体化设计

本课的教学评价贯穿始终，且与教学过程浑然一体。从“问题激活”的即时反馈，到例题、变式中学生的板演、讲解与互评，再到“展评结合”环节的公开研讨，评价方式多元。教师扮演着倾听者、追问者和点拨者的角色，通过“你是怎么想的？”“为什么这样构造？”“还有别的可能吗？”等启发性提问，将评价重点从答案的正确性引向思维的深刻性与流畅性。

导学案最后“融会贯通”一栏总结性的自评是点睛之笔，让学生从感性体验上升到理性认知，总结自己“解题经历”的策略选择，“模型构建”的抽象过程，“数学思想”的领悟体验以及“知识方法”的网络联系等，使评价不只是考查学习结果，还更利于促进学生学习过程和思维方式上的优化与提升，做到真正意义上的“以评促学”。

结语

陈凤云老师执教的专题课，是一堂底蕴深厚的示范课，利用“隐圆”驶过一座座看似深不可测的桥，搭载全体学生游刃有余，大享其乐，亲历了“发现结构—建立模型—转化问题”这一过程，领略了数学家内心世界的某个秘密——这堂课不仅让学生收获了“圆来如此简单”之解题畅快淋漓感，而且更从心底体悟了数学原来就是“美妙”啊！所谓优秀数学教学应当是这样的：在看似无物处，呈现知识的结构之美；在千变万化中，获得解决问题的方法模型；用最“简”求解的方式，让思维更“深”。作为专题课模板之一的“由动致静”，让学生活动起来，在独立思考的基础上实现合作探究，达到了培养学生基本数学思想方法的目的。为教师后期引导初中学生开展专题探究、落实数学学科核心素养提供了一些有价值的思路。