简介：

陆安庆，任教数学学科，从教四载，始终秉持勤恳务实的工作态度，以逻辑化教学拆解难点，助力学生成绩稳步进阶。愿以真心换真心，做学子成长路上的同行者。

点评：

以“少算”促“多思”：核心素养导向的教学转向

张家港市塘桥高中 周浩

各位老师，大家好！非常感谢凤凰高中陆安庆老师、张高中陆琳老师、沙中北校区许秋峰老师带来的精彩的高三数学同课异构复习课《直线的正设与反设》。课堂上注重引导学生主动思考、总结规律，充分调动了学生的备考积极性，展现了扎实的教学功底与科学的备考思路，给我们带来了很多启发。下面，我结合这三节课的亮点与高三备考实际，谈三点感想和一点思考，与大家交流探讨：

第一点感想：教学内容选择恰切。

近几年，高考试卷中直线与圆锥曲线的试题较多，且主要以难度较大的解答题为主，试题往往构思巧妙，突出代数运算的价值，注重对学生关键能力、数学运算核心素养的考查，对学生的综合能力要求较高，这一板块既是学生学习的难点和痛点，也是高三复习的重点，当前的高考要求“多一些想，少一些算”，更加突出了解析几何需要优化运算的迫切性。

本专题三位老师选择了不同的例题，其共同点均为过坐标轴上的定点切入开展教学：

陆安庆老师：以过y轴上的点，x轴上的点,假设直线，进而研究面积、弦长，线段比等相关内容，层层推进，学生得到了实实在在的获得感。

陆琳老师：从正设、反设的概念出发，并进行概念辨析，将直线的形式和面积的计算共识结合研究。在抛物线的研究中，突出抛物线中韦达定理的特殊性，具有很强的实践指导意义。

许秋峰老师：内容选择站位高，以抛物线、椭圆等不同的载体，设计了更为灵活、综合度更高的数学问题，学生的思维训练强度大，但始终围绕如何设线这一核心议题展开，课堂目标达成率高。

总的来说，例题的选择紧扣“难度适中，贴近学生”核心原则，紧密对接学生的知识短板，实现了直线正设和反设模型构建，帮助学生理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。

第二点感想：底层逻辑揭示清晰

底层逻辑1：以顺向推理起始教学，降低认知负荷，正设遵循“从条件到目标”的顺向思维，符合高三学生的常规解题习惯：已知条件是“因”，设方程是“果”，方程中的变量直接对应的未知量k，正所谓缺什么设什么。这种“顺藤摸瓜”的方式，能减少思维跳转，降低思维成本，是解析几何的“基础高效解法”。

底层逻辑2：在前面的学习中，学生已储备直线表示的多种形式，但是直线并非随意设方程，能否“避繁就简、规避特殊情况”，进而反设的出现水到渠成，反设的关键是“不直接设待求量，而是设与待求量相关的量”，解决正设的痛点，通过合理设参降低运算复杂度，其核心不是“否定正设”，而是“补充正设”，让解题思路更灵活，避免因思维固化导致的“卡壳”。

底层逻辑3：陆安庆老师通过对比研究总结数学模型，研究线段长度、弦长、线段比等问题，一般考虑“投影”到坐标轴，化二维距离为一维距离。而“投影”到x轴，还是y轴，是能否简化的关键。直线方程与圆锥曲线方程联立消元这一环节就是为“投影”奠定基础，故在消元之前，设何种形式的直线方程尤为重要；陆琳老师和许秋峰老师也从不同的视角总结了类似的规律：消去y，正设直线；消去x，反设直线；过x轴上的点，反设直线；过y轴上的点，正设直线，强化学生“条件预判”能力：做题时先分析已知条件的类型（定点、斜率、截距、位置关系），预判正设是否会出现难点，提前规划设参方式；在这个过程中，尤其突出了反射的优越性，反设直线只有一项含参，反设直线的最简韦达式比正设直线更简洁一些这一简洁之处辐射到了整个解题过程中，的确能使运算变得简单一些。

第三点感想：师生互动频密真诚

顾泠沅先生在谈及当今课堂转型时指出，我们要加强对学生的研究，把教学的出发点和着力点从教师如何“教”转变为学生如何“学”，做到以学定教，并预言未来的课堂教学，无论是在教育观念上，还是在教学结构上，都将朝着以学生的学习为中心这一核心内容发生转型，充分的师生互动让学生的主体地位真正落地。

1.课前铺垫互动：精准锚定学情

“已知过焦点F(1,0)，你会优先选哪种形式设方程？为什么？”

“刚才有同学选斜截式，那当直线垂直于x轴时，这个方程还成立吗？” 快速衔接复习重点。

2.新知探究互动：梯度提问引导思维

基础层：陆安庆老师提问：“已知直线过点H(0,-2)，正设点斜式需要讨论斜率不存在的情况，大家觉得麻烦吗？有没有办法避免分类讨论？”引导学生自主思考“换一种设参方式”。

进阶层：陆琳老师提问：“如果设直线方程为x=my+1，这个式子中m的几何意义是什么？当m=0时，直线是什么形态？”教师实时追问“为什么这样设能覆盖所有情况？”

拓展层：许秋峰老师提问：“对比正设 x=my+t与反设y=kx+b，两种形式在解决问题时，运算量有何差异？”对比两种做法，韦达定理的结构，及将韦达定理代入后的运算式，让学生积累基本活动经验。

3.例题演练互动：实时纠错深化理解

解题过程中实时互动：“这位同学用正设斜率k的方式，大家看看他有没有遗漏什么？”，引导学生发现“未讨论斜率不存在的情况”。

在交流过程中，三位教师表现得沉稳从容，对话自然平和，课堂节奏比较缓慢，只讲了1-2道题，虽然从题量来看教学容量很小，但是从思维容量来看，教学容量很大。现在一些高三的教学节奏太快，在课堂上为了尽可能多地讲授题目，教师省去了学生充分自主思考的时间，减少了与学生充分交流的机会。

一点思考：反射是否一定简单？

在数学中，我们常讲，第一层次：看山是山，第二层次：看山不是山，第三层次：看山还是山。本节课中，我们可以感受到重点的突破在于第二层次，如何拨开迷雾，找到解决问题的合理方法。如果能再往后延申一步，可以找到更加简洁的方法，也就是对“反射是否一定简单”,我们今天三位老师选择的试题中都有同一类型的问题：涉及到向量的数量积问题，陆安庆老师的练习1点在以为直径的圆外；许秋峰老师的例1中的条件，进一步思考可以得到如下的感悟：对于形如或者的式子，使用反设直线的方法，虽然比正设直线简单了一些，但因其未能打破使用韦达定理的壁垒，并不能使运算难度发生质的改变；对于或者型式子的运算，使用双根式赋值的方法（二次函数的交点式，或者两根式），跳出韦达定理的固化应用框架，不再局限于韦达定理单一思路，计算的简化程度是革命性的。

以上是个人一些不成熟的感悟，如有不对，敬请批评指正。