季秋霞（白鹿小学）—数学：《有余数的除法》
简介：
季秋霞，女，本科学历，小学数学一级教师，张家港市数学教学能手，曾获张家港市局级先进个人，所带的班级曾荣获张家港市“书香班级”称号。从教以来，始终坚持爱心育人、慧心做事；多次在各级活动中上公开课获得一致好评，曾获苏州市微课制作比赛二等奖，多篇论文在省级刊物发表。
点评：
寻求培养学生核心素养的实践路径
白鹿小学 陈惠芬
今天上午，我们在崇真小学参加第二十四届课改展示月青年教师课堂教学展示活动，刚才听取了中兴小学丁景琼、白鹿小学季秋霞《有余数的除法》两节同题异构课，下面，谈谈我的学习体会，不当之处，请大家批评指正！
今年是新课程标准的颁布之年，以时代新人统领“树人”的目标体系，新课标从“想得到的美丽”“看得见的风景”到“走得到的景点”，课堂是老师们践行新课程理念，实现立德树人的主要阵地，我们的理念一定是从主要实现学科知识的教学，走向学科本质的教学，最终步入学科育人的课堂教学的目标。基于这样的立场，今天我们遇见两位青年教师的同课异构，或许她们领衔的课堂现场不一定完美，但核心素养已经有了“着陆”的印迹。
一、深度分析教材，寻找培养核心素养的潜伏点
《有余数的除法》是苏教版小学数学二年级下册的初始内容，承接《表内除法》单元，是表内除法的有效拓展和适度延伸。学生这学期刚学会表内除法，也已经接触过许多正好全部分完的事例。这部分教材注重联系学生已有的知识和经验，结合具体情境，引导他们在“平均分物”的操作中感受有余数的除法的基本含义，初步学会用相应的算式表示“平均分后还有剩余”的操作结果，发现“余数要比除数小”的规律，进一步建构“余数”的数学意义。二年级学生的思维以具体形象思维为主。教学时，教师要让学生带着问题充分动手操作，亲自去体验分物品、摆图形的过程，感受有余数的除法的形成过程，使他们通过操作、观察、讨论、概括等数学活动获取知识，提升思维水平。
《有余数的除法》其实是很难上的一节计算课，主要原因有三个：首先是除法算理理解困难。因为二年级上学期初步认识除法时，依托的是“平均分”，而在有余数的除法中，分得的结果有剩余，似乎又不属于平均分了。其次是余数规律探寻困难。初次认识有余数除法，在学生关于余数的生活积累不多以及有余数除法计算积累也不充分的情况下，理解“余数要比除数小”显得单薄而抽象。第三是关于余数的实际应用困难。只有结合生活实际才能更好地理解余数的意义，而在除法的实际应用中又存在“两种分法”（几个几个分和一个一个分，即传统教学所言包含除与等分除），学生理解与掌握时容易混淆不清。
那么学生核心素养的生长点在哪儿呢？
教材例１是从“分铅笔”的场景中回顾“整除”经验，引出“有余”情况，初步认识“余数”。例２则通过“用不同根数小棒摆正方形”的训练，发现“余数小于除数”的规律，进一步建构“余数”的数学意义。教材编写简洁精炼、通俗明了。那么，核心素养“潜伏”在哪儿呢？我们先看例１（如图１）。教材从“１０枝铅笔，每人分３枝”的现实情境中提取出“７１０÷３＝３（人）．．．．．．１（枝）”的数学算式，其思维支撑是１０里面包含着几个３、还多几”。这就是说，“有余数的除法”是对“均分有余”的生活问题的数学化刻画。这种刻画的本质是“抽象”。是“从现实生活和具体情境中抽象出数学问题”的体现。而这正是“课标”对“模型思想”内涵解读的重要方面。另外，当学生看到一个有余数除法的算式试着逆想这个算式可能讲了一个什么故事，便是将相对抽象的数学模型放归生活、灵动应用的体现，这也同样可以看作学生建构“模型思想”的重要经历。丁老师在练习中安排的看算式说情境就是把模型的回归，季老师从算式去选择图形也是这样的应用。
再来聊聊例２。我们可以发现，得出“余数小于除数”这个结论，来自于“１２÷４、１３÷４、１４÷４、１５÷４、１６÷４”这五组直观操作及算式的表征。这个过程，是一个“归纳推理”的过程。根据“课标”所述，以“归纳”“类比”为主要形态的“合情推理”和“演绎推理”，构成了逻辑推理的两大基本类型。所以，教材所编的得出结论的过程，显然蕴含着“推理能力”培育的契机。
进一步解读教材，我们看到，得出结论的过程貌似“完全归纳推理”，即没有遗漏、非常完整地呈现了五个数除以４从“商是３”到“商是４”的所有余数情况，于是，由此得到“余数小于除数”的结论显得“靠谱”。但与此同时，新的疑问会产生：是不是只有除数是４的算式才存在“余数小于除数”的规律（因为上述推理过程只涉及“除数为４”），除数为其他数时有没有这个规律呢？从这个角度看，教材所设的推理过程也只是不完全归纳推理”，且做不到“完全归纳推理”（无法将除数为任意数的情况枚举穷尽）。当然，大量事实表明，“不完全归纳推理”之所以可信，是当积累了一定数量的直观事实后，把蕴含其中的背景道理“想透彻”“想明白”“想到位”，让学生清楚“无须再举其他事实，由于某个道理，规律已能确信”，由此，学习活动便可升级为“科学归纳推理”。所以，我认为，例２教学时，需要适当补充“除数不是４”的算式，更要引导学生适时想通“为什么不存在余数等于除数、余数大于除数的情况”，由此，方能培育学生严密推理的能力与意识。
二、改造课路，夯实核心素养的“生长点”
在“有余数的除法”教材中，“模型思想”“推理能力”是隐含其间、呼之欲出的。接下来，如何通过教学设计，将教材的“潜伏点”转化为课堂的“生长点”，以切实培育学生的模型思想、推理能力，便是核心正道。反过来看，如果能以模型思想、推理能力的培育为中心线索，打破课堂格局，刷新现场生态，也不失为教学设计“独辟蹊径”的重要参考视角。回到课例，我们非常高兴地看到，两位教师在夯实关键能力的“生长点”方面花了很多心思、做了很多努力。
关于有效渗透模型思想
在我看来，两位教师在例１教学中，充分突出三大要点，使模型思想“不露痕迹”地“浮出水面”。
聚焦“模型”的生长。 教材中通过多次分铅笔，来烘托其中不变的“包含除”本质，从而反映出“有余除”的思维模型是“整除”思维模型的变式与拓展，充分体现了数学模型的成长性。对于这一点，两位教师的教学组织都有生动诠释。比如课前的抱抱团游戏，学生都喜欢玩游戏，这样的热身游戏既可以提高课堂参与度，激发学生的学习兴趣，让课堂更加生动热闹。在游戏中引导学生值观理解“正好”和“有余”，寓教于乐。在“抱一抱”游戏过程中，总人数始终不变，通过“几人抱成团”（即除数）的变化，促成了“整除”与“有余除”的交替共存。丁老师从孙悟空、猪八戒用９根小棒围三角形、正方形，出现不同的结果，季老师由分草莓正好分完及有剩余开始教学。这个过程中，以现实问题为纽带，强化了“整除”“有余除”两种模型的本质关联。两人的教学有异曲同工之妙。两位老师都精选了活动材料，课中丁老师选取的学材是小棒围图形，看似简洁的学材却能很好地承载学生对“有余”且为什么有余的理解。材料更贴近学生、更易于操作，且与例２一脉相承。这样做，显然有利于数学模型的形成、生长与建构。
皮亚杰认为，“儿童思维从动作开始。切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展”。两位老师老师深谙此理，他根据二年级学生以具体形象为主的思维特点，在了解学情、学力的基础上，依据教材，创生学材，以“用小棒围图形”为切入点，创设了生动的问题情境，为学生创建了探究的场域，让学生自觉关联“小棒根数（被除数）”“每一个图形的边数（除数）”“围成了几个这样的图形（商）”“小棒是否正好分完（余数）”这些元素，自觉唤醒数学活动经验。
渗透“模型”的特性。模型的特性是什么？简而言之，模型由“抽象”而来、该“应用”出去。在课始创设“抱一抱”的游戏情境，好处在哪里？除了她在课例中讲到的“激活兴趣、促进参与”外，我觉得还有非常重要的一点是，充分展示了“生活现实数学图式”的模型化过程。当然，学生只要浸润其中、朦胧察觉即可，不需要知道这个过程叫“抽象”，也无需明白这段历程叫“数学化”。如果学生既掌握了有余数的除法，又能亲历知识模型的形成路径，便是最为理想的目标达成。在这方面，两位老师都做的很充分。教学中精心创设了“数学模型一生活原型数学模型”的过程，将模型的特性展现得淋滴尽致。我想，小学阶段如何培育“模型思想”，无非就是引导学生初步感知“模型怎样来、又怎么去”。基于学生学情，以“圈草莓、摆图形”为明线，以“依托经验、借助直观、活化思维（几何直观、模型思想）”为暗线展开教学。整堂课下来，笔者再一次感受到“直观操作助推数学思考、促进概念建构、活化学生思维”的强大魅力。
其次，有余数除法模型的形成路径更是体现了认知发展的不同层次。根据布鲁纳的多维表征，两位老师的课堂教学依次在游戏、分物、拼搭、推理、应用和概括等活动中，逐步从现实生活原型，走向直观图形模型，最终建构抽象符号模型，即有余数的除法模型。数学模型的有效渗透，则是学生迁移应用的基础。
（３）强化“模型”的建构。在引出“均分有余”现象后，两位教师都设计了了“请学生自己试着用算式来表示分的过程”的学习任务。这一挑战性体验，有利于让每位学生充分积累基于已有经验、尝试创造模型的“初体验”。当然，学生创造出来的“原生态模型”可能并不完美，甚至是奇葩的或错误的，但蕴含其中的数学思考却是珍贵的。这种带有主体性、探究味的数学思考，最终将转化为学生扎实建构数学模型的“营养源”。在这方面，两位教师的课都可圈可点。
接着引导学生用算式符号表征其平均分的操作过程和方法。在交流反馈中，教师引导学生说一说乘加算式和连减算式的意义，再让学生写成有余数的除法的固定表达，这样有利于学生主动接受有余数的除法的固定表达，内化有余数的除法的深层含义。而对学生出现的多种生成资源，教师利用提问“哪个算式好？好在哪里＂，让学生通过交流、讨论逐渐修正自我想法，使思维得以发展，从操作表征到符号表征过渡自然，最终达成新知的整体建构。丁老师结构化的半数以及摆五边形想到怎样的算式都是在建模的实践。
２．精准培育推理能力
提及数学课程中的关键能力时，史宁中教授指出，“抽象”“推理”和“模型”三种能力是“当仁不让”的关键所在。推理意识可以看作推理能力的初期阶段，主要是让学生基于经验的感悟，形成初步的意识，既能进行合情推理，又能进行初步的演绎推理。推理意识首先表现为“知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论”；然后就是体验猜想和论证，即“能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论；通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程”；最后表现为能“对自己及他人的问题解决过程给出合理解释”。根据课程标准所描述的，以“归纳”和“类比”为主要形态的“合情推理”和“演绎推理”，构成了逻辑推理的两大基本类型。
帮助学生扎实经历“余数小于除数”的发现过程，提升其意义理解的水平，对于后续学习除法运算及相关知识极为重要。在这场“归纳推理”的教学活动中，两位教师的课堂组织周到而有效。尤为值得一说的是以下两点：
（１）“１＋ Ｘ ”：有序丰富事实依据。这里的“１”代表一组基本材料，“ Ｘ ”代表多组辅助材料。两者有机对接、充分整合，构成了学生发现“余数小于除数”的事实依据。不难发现，两位教师都选择了“８根小棒摆正方形”作为基本材料，因为数字简单，且也有些许“跳一跳摘果子”的意味。此处教学中，两位教师都放缓节奏，围绕“１２÷４＝３（个）”这个模型，既强调整体的感知把握，又重视细节的精准理解，学习效果显而易见。在此基础上，两位教师继续设置研究任务，引导学生继续创生了“１３至１６根小棒摆正方形”的丰富事实，且直观操作依次减少、思辨想象逐渐增加，体现了教学活动的层次性。我认为，两节课最终呈现的“１＋ Ｘ ”的事实材料比教材设定的丰富很多，更有利于学生顺利达成“不完全归纳”的推理目标。而后的练习中，接着老师设计了“用小棒摆三角形、五边形”的任务，都在引导学生及时跳出“除数是４”的认知局限，进一步扩展了研究材料的一般化水平
教学时给予学生三组材料，引导学生在直观操作中不断深化感悟、建构经验：一是“直观操作材料”，即用自己喜欢的方式表示出用９根小棒摆正方形的结果，初步体会余数的产生，理解余数及有余数除法算式的含义；二是“应用建构材料”，即四人小组合作探究用１０、１１、１２根摆正方形的结果，引导学生在小组合作、互动交流中进一步理解有余数除法的含义；三是“思维联想材料”，即引导学生快速推理出用１３、１４、１５、１６根摆正方形的结果。之后，又引导学生通过观察、比较、探索余数和除数之间的关系，理解余数比除数小的道理。接看，让学生快速算用一堆小棒摆三角形、五边形六最多会余几根小棒进一步深化学生对余数的理解。相信这样的“以形助学”能帮助学生实现具象思维到抽象思维的转化，促使学生乐学善思！
“余数比除数小”的结论，显然蕴含着推理能力的培育契机。教学中季老师从用１２、１３、１４、１５、１６根小棒围正方形地经验中推理１７、１８、１９根，进而让学生推理更多的一堆小棒来摆正方形，在直观操作、图形支撑、经验迁移中通过小棒搭图形这一富有层次性的活动中，去帮助学生达成“不完全归纳”的推理目标。并运用关键问题，帮助学生将内在道理想透、悟透。丁老师的教学也是沿袭发现规律到经验迁移，在围正方形中通过追问“为什么都是４？“余数会是４吗？”让学生在说理中去辨析感悟，突出数学的本质。
“ Ｘ ＋１”：有力达成科学归纳。
这里的“ Ｘ ”，是指学生基于事实、归纳发现的多样化结论，视点不一，个性鲜明。这里的“１”，则表示教师为帮助学生将内在道理“想透”“悟清”而进行的适时追问与精准导拨。“ Ｘ ＋１”的实践格局，有利于实现“不完全归纳推理”向“科学归纳推理”的升级。比如，两位教师都提出了一个同样的问题：“为什么余数总是１、２、３，而不是其他数？”在此基础上，丁老师继续追问“为什么余数一定要比除数小呢？”季老师跟进质疑“余数可能是４或５吗？为什么？”基于前面“ Ｘ ”，依托此处的“１”，学生最终明白了：如果余数等于或大于４，那就又可以新搭一个完整的正方形了，这样一来，随着商的增加，余数依然只是１、２、３或没有余数。鼓励学生有条理地表达，说理有据。发展推理意识能促进学生的数学表达，而数学表达也有助于学生推理总坛形成。因此，在观察、实验、猜想、验证等数学活动中，要让学生逐步养成得地表达自己的思考过程和思考结果的习惯，力求做到言之有理、落笔有谐。
三、重构习题，凸显关键能力的“观照点”。
教学现场的习题，其价值既在于巩固提升，又在于测评反馈。如何让习题设计在关注基础知识、基本技能的基础上，让学生对“模型思想”“推理能力”的体验收获有所暴露、进而有所促进，是一个值得关注的重要问题。两位教师的练习设计，让人印象深刻。那些封闭的习题，能够加强学生对于数学模型的基本理解；而那些开放的习题，又有利于支持学生有效丰富建模、推理的过程体验。比如，丁老师设计了开放题余数最小是几，最大是几。季老师设计的１２本绘本分给几位小朋友有剩余练习中，学生能够再次经历模型完善的过程，且这个开放式的活动，也呼应了例２教学中事实梳理的整个过程。可以说，兼顾了模型思想的渗透、推理能力的培育。
基于有余数除法算式中各部分之间的关系，考察学生的推理能力。除法算式中，将被除数、除数和商分别用不同的图形代替，学生需要根据“余数比除数小”的规律，对除数的最值进行准确的判断。以不同形式关联被除数、除数、商和余数，一步一步明晰有余数除法模型。
季老师、丁老师都安排了由图形到算式，再由算式回归情境，考察学生的具体分析能力和逆向推理能力。在有余数除法模型建立后，逆向推理剩余的个数、包装盒、余数和除数之间的联系。学生需透过现象看本质，分析理解剩余的个数即余数，包装盒即除数，并运用数学模型解决抽象问题，进一步加深对模型的感悟。
