戴亚囡（云盘小学）-数学《常见的数量关系》
简介：
戴亚囡，中小学一级教师，张家港市数学学科教改带头人。她爱岗敬业，勤勉踏实。工作中，她孜孜以求，追求卓越，超越自我。她用真诚打动家长的心灵，用热情点燃学生的激情；用“孩子的大脑”去思考，用“孩子的眼光”去看待，用“孩子的情感”去体验，她把孩子们带进奇妙的数学世界，尽情享受数字和图形带来的快乐；她用汗水一次次磨练，一次次提升，换来同行的认可和掌声。她会一如既往地怀着一颗感恩的心，在平淡的岁月里继续演绎着数学老师的精彩！
点评：
聚焦数量关系 培养模型意识
张家港市云盘小学 李晓红
２０２２版《数学课程标准》上指出：数量关系主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。“数量关系”作为小学阶段数与代数领域中的一大主题（另一主题是数与运算），需要学生能在熟悉的生活情境中运用数和数的运算，合理表达简单的数量关系，解决简单的问题，并在解决问题的过程中，体会解决问题的道理，解释计算结果的实际意义，感悟数学与现实世界的关联，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识。
今天，来自云盘小学的戴老师，和来自塘桥小学的卞老师给我们展示了两节《常见的数量关系》。这个内容是在学生充分理解了乘、除法的意义，积累了丰富的认知经验的基础上进行教学的。四年级的学生已经初步具备了抽象概括的能力，数量关系的分析、提炼与概括是学生解决实际问题的必要环节，也有助于培养学生的简约思维，有利于学生借助数量关系来进一步分析问题、解决问题。
两位老师都能紧扣课标要求，贴近生活实际，用活课本素材，给我留下了深刻的印象，相信也给在座的各位留下了深刻的印象，接下来我就从两个方面的特点跟老师们一起回顾课堂中的精彩：
一、经历建模过程，从实际问题中抽象出数量关系
史宁中教授在《数学思想概论》中指出，数学思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。其中，抽象是最核心的，高度的抽象性是数学的根本所在。而数学模型有别于一般的数学算式，也有别于通常的数学应用，它是能够用来解决一类具有实际背景问题的数学方法。而“模型”对数量关系具有统摄作用。从数学模型的角度上来看，“单价×数量＝总价、速度×时间＝路程”这两组关系都属于“乘法模型”，它们是“每份数×份数＝总数”关系的具体化。
两位老师在教学时，从三个阶段让学生经历数量关系的抽象及建模过程：
第一阶段，两位老师都从学生丰富的生活经验出发，创设具体的生活情境，以大量的素材让学生知道，每个物品的价钱就是这个物体的单价；像这样每时、每分、每秒行的路程就是速度。在这样的多次感受中，学生将停留于一种事物上的形象，逐步凝缩为更具体的表象。
第二阶段，两位老师都通过解决实际问题，用画线段图帮助理解，以图式结合的方式，让让学生经历观察、计算、分析的过程，从而明确求总价为什么用单价乘数量，求路程用速度乘时间的道理，进一步理解“每份数×份数＝总数”的数学模型。
第三阶段，在老师的引导下，学生对两次数量关系进行对比和分析，完善线段图的表示方法，建立“每份数×份数＝总数”的乘法模型。在模型的建构过程中，学生自主探究，通过尝试、验证、交流，逐步体会到将实际问题进行乘法数学模型，这样的过程，让学生体验到数学发现的乐趣，发展了数学思维、扩大了知识面，也为培养学生的数学模型思想提供了载体。
当然，两位老师在实际的环节设计上还存在一些差别。比如：
戴老师采用课前备学，让学生收集生活中单价的表达方式，并用自己的话说一说它们的意思。商品的单价，这是学生在生活中最常见的，也是学生最熟悉的量，从学生熟悉的量开始引入“复合单位”，更有助于学生认知复合单位的意义，也能更好地唤起学生对数量关系的初步感知。速度的表示方式在生活中不是很常见，戴老师引用高铁显示屏上的数据引入速度概念，并通过汽车仪表盘的观察，感知速度，进而开始速度、时间和路程三个量关系的探索。
戴老师让学生用线段图表示“速度、时间和路程”的关系，在学生上台讲解，适时进行提炼和总结，巧妙地利用线段图对这三个量进行了串联，让学生有了更深层次的认知。从学生的角度出发，“速度”的理解在本节课的知识中更难。这样图式结合的方式，加强了学生对于“速度”的理解，明确速度是在“每小时”、“每分钟”、“每秒钟”这样的单位时间内走过的路程。整个过程，戴老师始终以一名引导者、组织者的身份进行教学，体现了学生的主体地位。如果说“速度×时间＝路程”的教学是老师“扶着走”的话，那么“单价×数量＝总价”的教学则是放手让学生自己去探索、去尝试。最后，通过两次线段图的比较，总结出“速度、单价相当于１份数，时间、数量表示这样的几份，就是份数，路程和总价相当于总数。”从而明确这两条数量关系都能归结为“每份数×份数＝总数”的关系，建立了数量之间的乘法模型。在这里学生收获的，绝非仅仅是静态的几个知识点，更是认知网的完善，学习能力的提高。
同样，卞老师在课的一开始就以贴近学生生活的购物问题，自然地引出复合单位，结合数学经验及生活经验，在解决购物问题的过程中揭示单价、数量和总价之间的关系。在探究速度、时间与路程的关系时，卞老师则以开放性问题：“３小时能到吗？”，引导学生结合线段图自主探究，通过分析对比，让学生自主发现三个数量之间的关系，主动建构有关速度、时间和路程的计算模型。同时，在应用模型的过程中，老师并没有让学生简单地套模型，而是引导学生展示解决问题的思维过程，并对过程的各个部分进行剖析对比，加深了学生对行程问题模型的理解。
购物问题、行程问题都是小学生常见的、可观可感的素材，教师创设的适宜教学环境，让数学和生活亲密接触，那数量之间的关系也就呼之欲出了，并自然地融进了学生的认知结构中。随后，卞老师结合之前学习过程中出现的类似问题，让学生以现行的思维方式进行描述和分析。同类型的题目，更深层次的思维模式，更高阶的探究方式，这样的经历和体验，学生能更好地去建构乘法的模型，去完善知识的结构网。
从课的表面上看，两位老师选择处理的方式有所不同，戴老师直击主题，探究“关系”的主线清晰明朗。而卞老师则是迂回前进，在解决实际问题的过程中，逐步抽象出两个常见的数量关系。当我们透过现象去审视这两堂课的内涵，不难发现，两位老师在教学设计上虽有不同，但都是以解决问题为载体，以探究关系为主线，帮助学生理解关系，建构模型，并对模型进行了适度的生成、拓展与重塑。
二、注重对比分析，在模型建构中明晰数量关系
教学不是知识的传递，而是知识的处理和转换。学生在建构知识的过程中，新的知识经验的进入，会让原有的知识经验发生调整和改变。在学生建构了“单价×数量＝总价”和“速度×时间＝路程”这两个基本的数量关系后，两位老师均设计了“对比分析，感悟规律”的环节，通过对比与分析，学生不仅理解了基本的数量关系，构建了乘法的模型，也对三个量之间的变化关系也有了更深刻的理解，最终感悟到“变与不变”的辩证关系。
比如戴老师提出问题：仔细观察两次的线段图，你有没有发现它们之间的相同之处？从而引导学生去发现速度、单价相当于是１份数，时间、数量表示这样的几份，也就是我们所说的份数，路程和总价就相当于总数。这样的观察比较中，数量关系中的乘法模型已经十分清晰。随后，又以一副线段图编数学题的拓展练习，进一步强化乘法模型的建立，并着眼于学生的数学思考，让学生在思维的碰撞中，实现数学与儿童生活、生活与课堂的有机整合，体现出本真的数学基点和真正的儿童立场。
我们再看卞老师的课堂中，她的对比分析是从感悟１份的量开始的，从一份的量可以表示１支钢笔的价钱、一本本子的价钱，一盒菜椒的个数、１小时行驶的路程等，再到“有这样的几份”，随后得出“总数”。这样的建构，是学生在用已有的学习经验（这个经验可能是课前的，也可能是课上刚刚获取的），不断地去“感”悟，经历并感受抽象建模的过程，形成系统的知识结构。而引导学生充分经历从意义理解到模型建立的抽象过程，经历从问题解决个别化，到解决方法一般化的过程，充分体现了新课标中提倡的学习内容结构化整合的具体理念。
建议：对于复合单位，还可以在后续的练习中进一步感知，为什么会有元／个，是因为用总价几元除以数量几个得到“元／个”，如果数量是几盒或者几千克，那么表示单价的复合单位就应该是“元／盒”或“元／千克”，“千米／小时”是用路程除以几小时的时间得到的，如果按照几分、几秒的份数来分，得到的速度单位就会有相应的变化。在这样对比的过程中，让学生进一步明确数量之间的关系，对数量关系的理解真正实现从感知到清晰、从浅见到厚实的进阶过程，对建立的数学模型也就有了更深层次的理解和感悟。
总之今天两位老师的教学设计和课堂呈现，都将学生置于熟悉而又丰富的经验背景之中，一头连着生活、一头指向数学，体现出了浓浓的〞数学味”，让我们也感受到了数学建模的力量。
