简介：

吕晶，任教数学学科，自工作以来，工作认真负责。注重对教学方法的探索，对教育方式的研究。在教学上，坚持着“捧着一颗心来，不带半根草去的”理念，以爱心、耐心、细心来育人。个人教育格言：用最初的心，走最远的路。

点评：

基于“数的认识”的一致性分析“分数的意义”

张家港市实验小学   赵敏

如果让老师们投票选最难上的概念课，“分数的意义”同“小数的意义”一样，会榜上有名。在美国教育进展评估项目研究结果中也表明，分数一直是美国及各国学生数学学习的一个难点，对分数概念的理解不够透彻，会导致学生在分数运算、小数和百分数的概念理解以及代数学习的过程中都会遇到困难。

要很好地诠释一节课，对于教材的分析理解是必不可少的，读懂读透教材是上好一节课必须要做的基本功，如果再能学习一些上位概念就会思考更加深入。两位老师紧扣感悟数概念本质的一致性，呈现了教无定法的两堂课例。下面我们带着思考一起来体会。

问题一：分数的教与学之难，难在哪里呢？主要在于分数意义的丰富性。它的内涵有哪些？

份数意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，如“三份中的一份是1/3 ”。

测量意义：测量要先确定某一段为单位长度，再用单位长度确定物体的长度。例如，分数5/8就是以分数单位1/8作为单位长度，数出或者量出5个单位长度得到，也即，5/8就是5倍的1/8，沿着这个思路，学生就会把分数看成是分数单位的倍数。

娜仁格日乐、史宁中在其文章《度量单位的本质及小学数学教学》中指出度量单位有两类，一类是通过抽象得到的度量单位，是计数单位；一类是借助工具得到的度量单位，是计量单位。从这一角度来思考，“分数测量意义的理解”就是分数单位的累加。

商意义：分数是由“除不尽”而产生的，源于两个整数相除不能得到整数时数系扩充的需要，整数除法算式的得数可以写成分数,如“3÷5可以写成3/5”表示两个数相除的结果。除法和分数之间建立联系，除法和分数的教学都是建立在等量分物经验基础上。

比意义：一部分和另一部分之比，另一部分可以是整体，也可以是部分，把一部分当作新的整体。如“A的数量是B的2/3 ”。

运算定义：指的是将对分数的认识 转化为一个运算的过程，使分数的认识由“过程”聚焦到“对象”。即分数是一个数，可以和其他数一样进行运算。

形式化定义：形成m/n（m、n都是整数，且n≠0）的数，就叫作分数。在这个定义背景下，任何整数都可以表示成分母为1的分数，因此将整数看作特殊的分数。

问题二：从分数的内涵思考，分数意义的教学中分数单位和单位“1”哪个更重要？（也就是讨论：份数意义还是测量意义更重要。）

我们发现，学生对分数的理解更偏重于“整体中的部分”，大部分学生往往会表达成先平均分成几份，再取出几份，这在初学分数时比较容易理解，但在后期学习假分数及分数与除法的关系时，容易造成学生的认知障碍。比如，学生普遍不能理解为怎么会有这样的假分数的存在，理由是“把整体平均分成了3份，怎么能取出4份呢？一共才有3份呀！”再如，当学生完成类似“1÷3”的题目时，都会尽量使用小数来表示结果，而不愿意使用分数，即便结果为循环小数，理由是“分数是一个数吗？能表示计算结果吗？”。可见，“测量”意义是最能够体现分数作为数的本质的意义，在学生学习分数时起贯通作用。因此，教学“分数的意义”时，应提升“测量”意义在所有意义中的比重，并且让“测量”意义贯穿分数单元学习的整个阶段，以此来建构学生对分数的深刻理解。例如，假分数的认识就可以由“测量”自然地过渡，用1/4作为单位量，数3次有3个，就是3/4，数5次有5个1/4，就是 5/4。再如学习“商”意义，即为什么a除以b可以写成a/b，可以做如下解释：a除以b也就是将a中的每个1除以b，则1/b就是一个单位，一共有a个1/b，就是a/b。

其实两位专家给过这样的意见。史宁中教授在《核心问题——小学数学教学中的基本概念与运算法则》一书指出：就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用，一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算，另一种是以比的形式出现的数。张奠宙教授也曾指出：教学中，要注意强调分数是一个“数”，且分数的“份数定义”可以作为起点。

对单位“1”的认识

吕老师充分利用前测素材抓准学情，顺应学生的已有认知经验，引导学生建构一个物体、一个计量单位、一个整体的3/4的完整表达，进而理解可以用整数1来表示，通常把它叫作单位“1”。周老师直接让学生用分数表示各图中的涂色部分，并说说每个分数的含义，例举中抽象出对单位“1”的概括。

对分数单位的认识

周老师从测量的角度出发，让学生感受当不够“1”的时候，要创造新的单位来度量，从而引出不同的分数单位，逐渐形成分数墙，感受不同的分数都是由n个分数单位累加而得到的。吕老师在引导学生比较归纳出像1/4，1/5这样的数就是分数的计数单位——分数单位。后在类比创造分数单位活动中追问你还想表示单位1的线段平均分成几份？分数单位是几？会数出分数吗？两位老师都设置了创造分数单位的学习活动，对分数单位的认识更侧重。

问题三：既然更突出分数是一个数，对于“数的认识”的一致性体现在哪里呢？

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，要让学生“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识”。吕老师在学生认识了分数单位后，让学生感受分数和整数、小数一样都是可以数出来的，提供基于计数单位数出整数和小数的例子。周老师课堂的最后，从分数墙入手，进行勾连。两位老师在课中都从数都是数出来的角度延伸渗透到后续还可能出现的假分数。

从定标准——单位“1”，到定单位——分数单位，再到计个数——数单位，有效建立整数与分数之间的联系，凸显分数作为一种数的本质属性。数,源于数,是对数量的抽象。无论是整数、小数，还是分数，都有着相同的结构——从数的组成来讲，都是计数单位累加的结果。计数单位是计数的基本部件，计数法是将基本部件进行组合的规则。这是学生在整数、小数学习过程中形成的对“数的认识”的结构性认知。从结构化教学的角度思考，分数的教学中也要建立起分数和整数之间的联系，从数的角度去认识分数。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》第85页教学建议中“注重教学内容的结构化”要求我们在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。

问题四：通过刚才的解读以及两位老师的演绎，大家有没有猜想新教材是不是按着我们思考的这样去调整了呢？新教材中分数的意义教学有怎样的调整与变化？

新教材中“数的认识”一共编排 12 个单元和一次综合实践（如表 1），分布在一至六年级。和原来的教材相比，这部分内容主要有以下几方面变化。

新教材按照“分数的初步认识—小数的意义—分数的意义”这一顺序重构小数和分数的学习线索。将原来三年级下册认识一个整体的几分之几合并到五年级分数的意义中教学。

江苏省邳州市教师发展中心聂艳军老师介绍：教学分数的意义时，教材从分一些物体组成的一个整体、用分数表示分的结果开始，帮助学生进一步丰富对分数的感性认识。教学分三个层次展开：第一层次，认识一个整体的1/2。创设分物情境，引导学生迁移已有的经验，在图上分别表示出 6 块饼干、8 块巧克力的1/2，进而通过反思抽象1/2 的本质属性。第二层次，认识一个整体的几分之几。通过情境变式，帮助学生逐步理解分数的内涵。第三层次，拓展分数的外延。组织学生说刚才这些分数还可以表示什么，感受分数的一般性。在学生形成丰富的感性认识后，让学生在直线上描点表示分数，舍弃背景，抽象概括分数的意义。新教材中不再出示单位“1”的概念，而是用“整数1”来表述，这样与小数意义的编排保持一致，有利于学生体会整数1是沟通自然数与小数、分数的桥梁。

新教材增加在测量活动中认识分数的内容，同时带出假分数。这样编排，不仅有利于促进学生理解分数的本质，感悟分数单位的产生与累加，而且能有效化解真分数和假分数的教学难点。我们看到，一是在测量情境中引出“用粉彩带作单位测量蓝彩带，不能正好量完，怎样才能准确知道蓝彩带有多长”这一问题，组织学生讨论，在讨论中明确可以把粉彩带平均分成2 份、3 份、4 份……用每份的长度作为新的单位测量蓝彩带的长度。二是留给学生充分的自主活动时间，使他们在反复尝试、不断调整的过程中经历分数单位产生的过程。三是让学生经历用分数单位进行累加的过程，体会以 1/4 作单位，几个 1/4累加就是四分之几，并由此带出假分数，这样的编排能有效化解真分数和假分数。

在教学整数、分数和小数的认识后，教材增加“数的再认识”的内容，帮助学生进一步理解数概念的一致性。教材采用填空的形式，让学生用不同计数单位的组合表示整数、分数和小数。通过比较，明确整数、分数和小数都是用计数单位计数，都是由若干个计数单位组成的。

教材的编排启示我们：理解数概念的一致性，应当是一个连续、渐进的过程，面对“数”的扩展，我们绝不应将所涉及的各种数，包括原来的自然数以及后来学习的小数及分数等，看成互不相干的，而应将它们纳入到同一个数系之中。计数同测量一样，都是对客观世界进行定量刻画的工具与方法，需要确定统一的标准。测量的标准是计量单位，计数的标准是计数单位。将计数的教学放在“数系扩展”的高观点之下，有利于促进学生的深度理解。

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