马文杰（合兴小学）-数学：《简单的分数加减法》
简介：
马文杰，自参加工作以来，他一向热情饱满地从事教学一线工作，始终以一名优秀教师的标准严格要求自我。在之后的教学工作中，他依旧不忘初心，砥砺前行！
点评：
溯本求源：寓丰富于简单之中——听《简单的分数加减法》有感
张家港市乐余中心小学 黄振华
２０２２年１１月２３日
各位老师：上午好！
很高兴今天我们能相聚在这里，一起聆听两节同题课《简单的分数加减法》，也非常感谢大家，坚守在这里，研讨交流，在接下来的议程里，想发言的可以直接发言。下面，我们先请两位上课老师简单说说他们磨课的心路历程，以及上完这节课后的所思所想。
非常感谢两位老师的辛勤付出，磨课的过程是痛苦的，但痛并快乐着，作为一线教师，没有什么比收获成长是更让人满足和快乐的。作为过来人，这一点，我深有感触。所以，我首先要对两位老师说恭喜，恭喜你们完成了一次自我挑战、自我超越。
接下来，我结合两节课，谈谈我的想法。
【教材结构】
我们先来看一下教材的编排结构，《简单的分数加减法》这一课，是三年级上册最后一节新授课，教学的是同分母分数加减法。这次学完，到五年级下学期再学习异分母分数加减法，其间，除了偶尔会出几道口算题，没有再涉及分数加减法的教学。这节课是分数加减法的起始课，对学生来说，它很简单，分母相同，且不超过１０；教材呈现的过程也是简单的，跟之前整数加减法的编排一脉相承，都是在理解数的意义的基础上，借助几何直观理解计算的道理，从而掌握计算的方法。这样的教学过程，学生并不陌生。但这看似“简单”的知识，背后却有着深刻的内涵：分数加减法计算与整数加减法计算本质是一样的，都是相同计数单位个数累加和递减的运作过程；简单的知识肩负着以核心概念“计数单位”为核心的知识结构“生长”的重任。
【课标要求】
《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》Ｐ２３：通过小数加减运算、同分母分数加减运算，与整数运算进行比较，引导学生初步了解运算的一致性，培养运算能力。（第二学段教学提示）
《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》Ｐ２５：通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。（第三学段教学提示）
关于运算的一致性，不同学段，用了不同的动词。第二学段是了解，第三学段是感悟。要求是不一样的。
【教学评析】
在数学教学过程中，学生探究新知的思维过程，是在已有认知经验的基础上不断理解知识内涵、探索数学规律、形成新的数学认知、继而促进数学“悟”性不断提升的过程。
计算教学离不开学生的生活经验和已有认知，而从整数计算到分数计算更是学生认知过程中的一次重要跨越。本节课是学生第一次接触非整数的计算，虽然分数加、减法与整数加、减法的基本原理是一致的，但由于表现形式上的差异，学生在学习之初，容易受思维惯性的影响，对分数加、减法得算方法会表现出不适应，甚至是不认同。这也是本节课教学要着力突破的难点之一。另一方面，由于学生只是初步认识了分数，还没有建立分数单位的概念，这也会给学生理解和表述分数加减法计算的算理带来一定的困难。两位老师均从学生的角度出发，展开了研究与实践，构建了“自主探索、迁移思维、溯本求源、引发思考”的精彩课堂。
一、把握起点，激活经验
同分母分数加减法的教学起点是学生对分数的初步认识，也就是“把一样东西平均分成若干份，其中的一份就是几分之一，其中的几份就是几分之几”的直观感受。如果说，学生前期对几分之一和几分之几的理解很到位，那么这一课很多学生可以无师自通。我们的数学课堂不能用力于外部的规训，而应着力于内在的需求。教师应从学生的真实需求和认知起点出发，教学设计和课堂推进应符合学生的心理特点和认知规律。那么，怎样做，才能将教学建立在学生已有的知识经验之上，怎样的课堂活动会迎合学生的认知需求，引发学生积极主动地去思考和探究呢？两位老师对教材内容进行了不同的处理。
把学习活动建立在学生已有的知识和经验之上，就要在充分了解了学生已经具备的“前概念”的同时，设计开放的探索活动，让每一个学生都能有机会从自身经验出发展开思考与表达，并在交流与碰撞中逐步获得对问题的理解。所以，本节课前，陈老师大胆放手，提前做了前测，让学生自主表达５／８＋２／８的计算过程和结果。从结果来看，不少学生能根据自己对分数含义的理解，正确计算５／８＋２／８的结果，但为什么可以这样计算，鲜有人能说清。这就明确了这节课的教学方向，通过老师课上的教学，引导他们主动去发现说理的途径和方法。因此，陈老师从前测单中提取教学素材，在课堂呈现，在不同教学素材的分享过程中，数形结合，理解同分母分数加法计算的道理，获得对数学本质的理解。
马老师则创设符合现实情况的情境，引导学生提出加法和减法的问题，数学问题的自然引出，激活了学生的认知经验，感受到了数学与生活的联系，激发了学生的求知欲望，产生了探寻新的计算方法的心理需求，有利于培养学生的问题意识和策略意识。这样做，一方面可以使学生的学习建立在已有知识和经验之上，促使他们在构建分数加、减法实际问题的过程中主动进行比较和辨析，初步理解分数加减法的数量关系；另一方面，可以帮助学生感受分数加减法运算对于解决问题的价值，增强应用意识。面对５／８＋２／８这个新算式，马老师给学生提供了材料，让学生尝试计算，在交流时，马老师说：光知道答案可不行，说一说你是怎么得到的？知其然，且知其所以然，这是对学生数学思维和学习能力的培养。
二、数形结合，明晰算理
同分母分数加、减法是分数加、减法运算方法的内核，是进一步学习和研究异分母分数加、减法的基础。掌握算法对于基础扎实的学生来说轻而易举，教师该和学生进行怎样的探究？众所周知，算理的探讨才是本节课研究的重点，在算理的探索、追问中理解分数的意义才是教学的落脚点。只有弄懂了同分母分数加、减法的道理，今后学习异分母分数加减法才会有意识地去统一计数单位，也就是通分后在计算。学生对算理的节，在本质上，是学生对数特征的认知和运算意义理解的一种数学思维结构。教学时，只有从算式中参与运算的数的特征和运算意义两种维度展开探究活动，学生才能真正体会和感悟计算方法的形成，以及其中蕴含的道理。
两节课对于算理的探究，有着不同的处理方式。马老师循序渐进，在复习了意义后，为学生提供了探究的时间和操作要求，强调操作方法的指导，能使每一个学生都几级有效得参与到学习活动中去，在涂一涂、想一想、说一说等活动中理解同分母分数加法的算理与算法。陈老师将学习前置，把重心放在解读学生的前测作品上，因为前期只给了学生一个算式，所以他们用了不同的方式来表示５／８＋２／８的结果。在独立思考、自主表达的过程中，学生经历了将抽象的同分母分数加法具体化的过程，形成了外形不同但内核一致的不同作品。在交流的过程中，让学生表达心中所想，完整呈现思考过程，其中既有前两课时对分数意义的理解，又有本课对计算道理的解读。多幅不同作品的比较，异中求同，剥去外衣，直抵计算５／８＋２／８的本质：５个１／８加２个１／８得７个１／８，是７／８。
三、方法迁移，发展能力
吴正宪老师在一次讲座中说道：培育核心素养的数学教育不是碎片化知识的死记硬背，更不是重复机械地刷题。而是注重真实情境的发现、提出、分析、解决问题，注重在理解性学习的基础上整体知识结构的建立，注重学生学习能力的迁移，培养学习力，使之举一反三，触类旁通，减负提质增效，促进学生可持续发展。
学习是一个连续的过程，任何学习都是学习者在已知识经验基础上进行的。学习者原有的认知结构、知识经验、技能和态度对新的学习产生影响，新知的学习过程又会对学习者原有的认知结构进行改组，对原有的知识经验进行扩充，对原有的技能进行强化。所以，两位老师都做到了充分利用学生在探索同分母分数加法的计算过程中积累起来的经验，启迪他们自觉实现知识迁移，完成同分母分数减法计算方法的建构，顺流而下，自然流畅，实现了对同分母分数加减法的立体建构，在迁移学习中，学生的数学学习经验、思维能力得到了极大的提升。但要注意的是，如果此刻学生的表达仅是模仿层次的，就容易掩盖他们在算理理解上的缺失。因此，两位老师及时呈现了“看图算一算”的练习，引导学生借助直观图示思考计算的过程与结果，马老师增加了一道开放题，７／７－几，和他在加法环节设计的七分之几加七分之几一样，打开了学生的眼界，拓展了学生的思维。陈老师在这个环节增加的是生生间的互动，学生出题，学生计算，并且要求说一说计算的道理，改变了学习的形式，活跃了课堂气氛。两位老师在引导学生迁移学习之后所设计的练习，都有效强化了学生对算理的理解，促进运算技能的形成。
四、溯本求源，建立联系
张齐华老师说过：从纯粹的数学内部去寻找数学内在的精神力量。同分母分数，有着简单的“外形”——分母相同，而这外形的简单又是深刻理解算理的抓手。同分母分数加减法是分数加减法运算方法的内核，是进一步学习和研究异分母分数加减法的基础。但由于学生只初步认识了分数，还没有建立分数单位的概念，且对十进制计数法也缺乏系统、完整的认识。这个阶段，他们仅能结合具体的实例去理解同分母分数加减法的算理和算法，同样，他们也不能从理论的高度去理解证书加减法与分数加减法之间的联系。翻开教学用书，第２１７页最后一段文字是这样说的：这部分内容只要求学生依据对分数的初步理解思考计算方法，因此不要求概括同分母分数加、减法的计算法则。
然而，在教学过程中，学生很容易概括出计算方法。既然是学生总结出来的，我认为呈现出来也无妨，不必掖着藏着。不过，我们的概括不应仅限于形式上的分子相加减，分母不变，而是要启发学生追根溯源，从加减法运算的基本原理出发，体会运算方法的合理性。所以，两位老师不约而同都安排了整数加减法与分数加减法的比较，引导学生在比较中体会整数加减法与分数加减法在计算方法上的一致性，初步感受“相同单位的数才能直接相加减”的思想。获得这样的体验与感悟，不但可以使学生充分感受“分母不变”的道理，强化算理的理解，而且有利于学生感悟加减法运算的基本原理，形成良好的认知结构，改善思维品质。在后续学习中，将小数加减法的基本原理纳入、充实这个结构，到五年级教学异分母分数加减法，再一次理解相同计数单位的个数才能相加减，加减法计算的一致性真正得以体现。所以，教学中要改变“一个一个例题的散点教、一个一个习题的重复做”的碎片化学习状态，要从数学的本质和儿童认知视角将知识内容进行统整，充分体现知识之间的密切联系。“一致性”正是为核心素养落地提供的新视角，它反应的是学科本质，“数学化”的学习过程是实现“一致性”的基本路径，它为改进课堂教学提供了抓手。在教学中要从两个方面做起：一是对数学学科内容进行结构化的整合，以结构化促进内容的整体把握；二是改进课堂教学方式，以“主题”统领，实现深度覆盖，促进融会贯通。
２０２２版课标隆重推出了计数单位，吴正宪老师说：计数单位是数认识和数运算的丰碑。上周教发中心徐教研的示范课《分数与除法的关系》就很好地践行了新课标的理念，打通了分数除法与整数除法的隔断墙，一次次“分饼”活动，使学生经历了平均分是不断细分计数单位过程，理解了除法运算的一致性。
推荐大家观看吴正宪老师的讲座《学习“新课标” 理解“一致性”》，相信你听了之后对“数与运算”一定会有新的认识。
五、有效练习，讲练结合
数学课，练习的设计很有讲究，既要突出重点，又要针对性强；既要沟通知识，还要凸显规律；既要避免机械，更要寻求拓展。两位老师的课，均符合讲练结合的特点，各有亮点。
陈老师的课，练习部分安排了三个层次，一是填一填，填一填两道同分母分数加减法的分子，再次让学生感受到同分母分数加减法实际上就是再算计数单位的个数的和与差。二是解决实际问题，计算来源于生活，又应用于生活。她整合了数学书上的第４、第５题，学生独立完成后讲评，巩固了本课所学，从学生的情况来看，５／５的出现水到渠成，且和自然数１形成了无缝对接。三是选分数，算一算。教师随机出现学生说出的算式，并一一罗列，在观察后提出了一个重要问题：为什么你们选择的都是同分母分数？在交流中再次感悟，相同计数单位的分数才能直接相加减。此时，追问学生，由此你又产生了怎样的疑问？学贵有疑，课虽然结束了，但学习并未停止。同分母分数加减法会计算了，那异分母分数加减法呢？让学生保持对问题的好奇心，能极大地激发学生的探究欲望。马老师的练习中也有类似的内容，他依然延续情境，合兴园里摘蔬菜，图文并茂，情境恰当，在解决问题的过程中，发现新问题，然后通过回顾，将整数加减法、同分母分数加减法和后续的异分母分数加减法放在一起，形成了知识结构，这种设计也比较巧妙。
六、学为中心，顺学而导
曾经看到过这样一段话：
教师应调整自己的位置：有时站在学生前面，遇物而诲，择机而教，做一个引导者；有时站在他们身边，促膝长谈，耐心倾听，做一个陪伴者；有时站在他们身后，藏巧于拙，乐于示弱，做一个陪衬者。
今天两堂课的教学中，我们能感受到两位老师扎实的教学基本功。整个过程，老师都愿意隐身背后，努力为学生创造宽松愉悦的课堂环境，让学生成为课堂的主角，老师是一个倾听者，用心捕捉学生在学习过程中的每一帧画面，每一句发言，因势利导，顺学而教。从学生表现可以看出，当我们把更多的话语权交给了学生，他们就变得想说、敢说、会说了。这样的对话方式，既体现了以学为中心的课堂理念，又培养了学生的倾听习惯、问题意识和质疑能力。两节课均十分注重对学生表达能力的培养，这是中年级孩子最最需要引导的地方。
简单的分数加减法虽然简单，但两位老师却赋予这节课丰富的内涵，让这节课变得丰厚。语文特级教师薛法根曾经写过一篇文章：教得完整不如学得充分。虽然他写的是语文课堂，但我想，同样适合我们的数学课堂。他说，站在学生立场，界定了“教”与“学”的关系：教就是为了学，为了让学生学会学习，以至最终达到用不着教。这正是叶圣陶先生富有哲学意味的“不教之教”。一堂课，可以教得得不那么完整，甚至留有那么一些遗憾，但若能给学生一个充分的学习过程，学有所得，教就有了实质的意义。
那么怎样才能学得充分？他用了四个词语：内容要瘦，时间要够，过程要透，所得要厚。也许，特级的境界我们无法企及，但我们至少可以朝着那方努力。真正的教育者，是在施教的同时实现自我教育的人。我们只有不断自我提升，课堂才会日益精进，每一点儿自我提升，都可能会让课堂发生一次微革命。希望两位老师不要满足于上完了这堂课，完成了任务，每次教学后的反思才是真正能令自己进步的关键。也希望，在座的每一位，都能在今天的活动中学有所得。
